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[技术]雷友CirclesOfDoom出的扫雷题目.精 (12/5940) |
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在扫雷中，给定一个布局，定义该布局的逆布局为：将雷都变成非雷，将非雷都变成雷
证明：一个布局中的所有数字之和，与其逆布局中的所有数字之和相等。
 如何证明呢？
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【待证假设】
一个布局中的所有数字之和，与其逆布局中的所有数字之和相等。
【第一步】
设定有一个X行Y列的布局，布局中没有一个雷，故所有数字之和N1为0。此时的逆布局全部是雷，故所有数字之和N2也为0，假设成立。
【第二步】
在布局中增加一个雷，有三种情况：
1、雷在布局中间，将产生8个数字，此时N1=8。而此时的逆布局只有一个空在中间，N2=8，假设成立。
2、雷在布局边缘，将产生5个数字，此时N1=5，而此时的逆布局只有一个空在边缘，N2=5，假设成立。
3、雷在布局角部，将产生3个数字，此时N1=3，而此时的逆布局只有一个空在角部，N2=3，假设成立。
【第三步】
在上一布局中再增加一个雷，有三种情况：
1、新的雷与附带产生的数字与原有的雷与数字互相不重叠，则视其出现位置N1分别+8（中间）、+5（边缘）、+3（角部），N2也发生对应变化，假设成立。
2、新的雷附带产生的数字与原有的雷附带数字重叠，重叠部分的数字将累加计算，N1和N2依然根据新雷所处位置分别+8（中间）、+5（边缘）、+3（角部），故假设成立。
3、新的雷附带产生的数字与原有的雷重叠，与雷重叠部分的数字将消失，每重叠M个雷N1比不重叠的情况减少M，而逆布局重叠的雷也会消失，N2也会对应减少M，故假设仍然成立。
【最终步】
按以上顺序进行，最终直至雷充满整个布局，N1和N2同时回归于0，假设得证。
好笨的办法，寒……
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假设原有雷数为N（N=0,1,2...）,一个布局中的所有数字之和为N1，与其逆布局中的所有数字之和为N2.
盘面为长宽分别为a，b的长方形，a，b为正整数，且a，b不能同时为1.
一、当N＝0时（盘面雷数为0），N1＝N2＝0，假设成立。
二、当N＝1时（盘面雷数为1）：
1、雷在布局中间，将产生（3x3-1）个数字，N1＝N2＝8，假设成立。九宫减去自身空。
2、雷在布局边缘，将产生（2x3-1）个数字，N1＝N2＝5，假设成立。...
3、雷在布局角部，将产生（2x2-1）个数字，N1＝N2＝3，假设成立。...
三、依次类推，在布局中增加一个雷M后,N1,N2相应发生变化，变化值为m,同理：
1、雷在布局中间，m=8,
2、雷在布局边缘，m=5,
3、雷在布局角部，m=3,
所以，根据新添加雷的所在位置，m=8，5，3
三、在布局中增加一个雷M后,M1=N1+m，
布局逆反后，无论新雷所产生的空是否与既存雷，既存雷所产生的空重叠，m都只根据新雷的所在位置而定，故：M2＝N2+m
得出公式：
M1=N1+m
M2=N2+m
因为N1＝N2，m为定值，所以M1＝M2，假设成立。
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 还要仔细看看。。。
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在雷盘上任取一个雷A,雷A产生的数字和总是=雷A周围的空格数=逆雷阵里空格A周围的雷数=逆雷阵里空格A的数值.所以最终所有雷的数字和=每个雷周围空格之和的和.
形象说明:雷盘上面有n个雷(分别是A1,A2,A3,...An).设雷A1周围有X1(显然X1<=8)个空格,那么他在这X1个空格上面产生了X1个数字1;同时在逆雷阵里,A1变成了空格,而其周围的X1个空格变成了雷,这X个雷在A1这个格子上产生了1个数字,这个数字是X1.即X1*1=1*X1.以此类推雷A2,A3,...An.
于是整个雷盘的数字和=X1+X2+....+Xn,无论是正逆雷阵.
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感谢各位的回答！
这是另一位数学高手Laplacian提供的答案：
我来说吧。每个雷到它相邻的没有雷的数字格子画一只箭，那么没有雷的格子里的数字是其上箭头的数目，所有数字之和即为箭头的总数量，也即箭的数量。逆布局中，没有雷的格子里的数字是其上箭尾的数目，所有数字之和同样是箭的数量。不知可否？
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